Элементы теории множеств
14.04.2021
Элементы теории множеств и комбинаторинги.
По определению, множеством называют совокупность объектов произвольной природы, которую рассматривают как единое целое.
Что же такое множество в обычной жизни? Например, множество жителей одного города, множество учеников вашего класса, множество книг в библиотеке, множество натуральных чисел или решений одного уравнения…
Обозначаются множества прописными буквами латинского алфавита и, как следствие, начинается с буквы А, затем B, C, D и т.д. Объекты, которые входят в состав одного множества называют его элементами.
Задавать множества можно двумя способами, рассмотренными на рисунке 1
Перечисление всех элементов множества
В случае, когда множество задается перечислением, то внутри фигурных скобок перечисляются объекты множества, которые составляют это множество. Причем объект, который входит в множество в фигурных скобках указывается только один раз.
Так, например, запись: А = {5,7,9,11} означает, что множество А включает в себя четыре числа 5,7,9 и 11. Порядок в каком расположены элементы внутри множества не имеет значения. Важным является только указать из каких именно объектов состоит множество или какие объекты являются элементами множества.
Для того, чтобы четко определить какой объект является элементом конкретного множества, надо сделать запись:
Характеристические свойства элементов множества
Зададим это же множество при помощи характеристического свойства образующих его элементов, т.е. при помощи такого свойства, которым обладает практически каждый элемент, который принадлежит одному и тому же множеству. При этом ни один элемент не принадлежащий этому множеству не обладает этим свойством.
При рассмотрении приведённого примера А = {5,7,9,11} можно сказать, что множество А состоит из натуральных нечетных чисел.
Множество А состоит из четырех элементов, что обозначается следующим образом: |А| = 4.
Можно составить множество, которое обладает любым количеством элементов. Например, количество всех точек одной прямой бесконечно, но при этом все точки являются множеством одной прямой.
При решении квадратного уравнения можно сказать, что множество решений квадратного уравнения состоит не более, чем из двух элементов.
Но есть множество, которое вообще не содержит ни одного элемента и такое множество называют пустым множеством. Значок, который обозначает пустое множество указывает на это: Ø, следовательно, множество В является пустым будет написано следующим образом: В = Ø.
Когда же применяется тот или иной способ задания множеств?
Если множество задается перечислением всех его элементов, то это говорит о том, что число элементов этого множества конечно и не велико.
Множество же, которое можно задать характеристическим свойством элементов может быть, как конечным, так и бесконечным.
Надо учитывать, что из одного множества в большинстве случаев можно составить множество новое.
Например, в нашем примере дано множество А = {5,7,9,11}. Из элементов данного множества можно составить новое множество, элементы которого будут принадлежать множеству А.
Н = {5,11}, объекты нового множества полностью принадлежат множеству А. В этом случае можно говорить, что множество Н является подмножеством А или записать:
Само множество А является своим подмножеством, причиной является то, что каждый элемент А принадлежит множеству А. Также пустое множество является подмножеством А.
Для наглядности, все множества и их взаимосвязи можно раскрыть используя круги Эйлера.
Далее рассмотрим операции над множествами. Каждый урок — это один шаг к маленьким школьным достижениям.
Экономист по первому образованию и учитель информатики по второму. Преподаю в школе информатику, программирование, сайтостроение, экономику.