Системы счисления в ОГЭ
20.04.2022
Задание на системы счисления и на сравнение чисел в разных системах счисления. Сравнить числа в разных системах счисления можно, если эти числа перевести в одну систему счисления.
Порешаем разные виды задания № 10 из ОГЭ и научимся переводить числа из любой системы счисления в десятичную и из десятичной – в любую другую систему счисления. Также надо уметь переводить числа из одной системы счисления в другую через десятичную систему счисления.
Перевод числа из одной системы счисления в другую
Системой счисления по определению является знаковая система, в которой приняты определенные правила записи чисел. Запись в любой системе счисления делается цифрами, а совокупность цифр является алфавитом системы счисления.
Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными.
Непозиционной системой счисления считают такую систему счисления, цифры в числе которой не зависят от ее местоположения в записи числа.
Позиционной системой счисления называют систему счисления, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющей ее алфавит.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел. Алфавит десятичной позиционной системы от 0 до 9: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Алгоритмические числа образуются в ней следующем образом: значения чисел умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные произведения складываются.
Основанием позиционной системы счисления служит любое натуральное число q>1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое целое число может быть представлено в виде:
А q = +-(a n-1* q n-1 + a n-2* q n-2+…+a0* q0)
где
А – число;
q – основание системы счисления;
аi – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n- количество разрядов числа;
qi – «вес» i – го разряда.
Задание 1.Перевод числа из одной системы счисления в другую
По идеи нам нужно сравнить все эти числа. Это предусматривает то, что все числа должны быть в одной системе счисления.
В условии написано, что ответ нужно дать в десятичной системе счисления.
Все задание сводится к тому, что нужно перевести все числа в десятичную систему счисления и сравнить их.
В чем состоит перевод числа в любой системе счисления в десятичную?
Начинаем с первой цифры:
4110=
Нумеруем каждую цифру числа с права на лево по порядку, начиная с 0. Над 1 ставим 0, над 4 ставим 1.
Теперь приступаем к расчетам. Каждую цифру числа справа налево, умножаем на основание числа с которого переводим в десятичную систему счисления, в той степени, которая стоит над данной цифрой.
Причем работаем с числом слева направо:
4116= 4*161+1*160= 6510
Второе число 778 переводим в десятичную систему счисления по такому же принципу. Сначала ставим разрядность над цифрами числа:
— над первой семеркой справа ставим 0, над второй по порядку ставим 1. Получаем:
778=7*81+7*80=56+7=6310
Последнее число в двоичной системе счисления, с ним работаем таким же образом:
10000102=26+21=64+2=6610
Теперь сравниваем полученные числа в десятичной системе счисления6 65, 63,66.
Естественно, что минимальным числом будет 63.
В ответе записываем 63 без основания системы счисления.
Это было задание самого распространенного типа.
Задание 2. Перевод числа из одной системы счисления в другую
В задании надо найти уже максимальное число из заданных.
Действия будут такими же как и в первом задании:
— сначала переводим каждое число в различных системах счисления в десятичную систему счисления;
— затем сравниваем все три числа друг с другом.
Получаем:
Желательно выучить таблицу степеней двойки до 12 степени, что пригодится как в ОГЭ, так и в будущем в ЕГЭ. Это ускорит вам решение подобных задач.
Максимальное число в десятичной системе счисления в данной задаче – 38.
Ответ: 38
Задание 3,. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Задание по сути аналогично.
Все три числа переводим в десятичную систему счисления, а затем сравниваем. Ставим разряды над числами и начинаем расчеты.
Расчет сделаем сразу по трем чисел последовательно. Незабываем про знак минуса между цифрами:
Ответ: -41
Задание 4. Перевод числа из одной системы счисления в другую
Это несколько другой подвид по теме.
Требуется также перевести все числа в десятичную систему счисления.
Нам нужно найти, сколько же чисел между 119 и 191. Отнимаем одно число от другого:
191-119 = 72 числа.
Но здесь есть такой момент, когда мы говорит о количестве чисел в каком-то диапазоне, то априори не учитывается самое последнее число в данном множестве. В нашем случае, при вычитании 119 из 191, в нашем случае 191.
И в этом задании все хорошо, так как в выражении указано, что х <2778
СТРОГО МЕНЬШЕ!!!
Если бы в условии задания был указан знак ≤, то пришлось бы учитывать и 191. А это значит, что к полученному ответу нужно добавить единицу и ответ, соответственно, станет 73. В этом месте нужно быть внимательней!
Ответ: 72.
Задание 5. перевод числа из одной системы счисления в другое
Это задание «наоборот», в нем из десятичной системы счисления нужно перевести числа в другие системы счисления.
Решение:
Сначала все числа приводим в восьмеричную систему счисления. С этой целью мы число делим на основание числа.
8610 = 1268
9910 = 1438
10510=1518
Теперь находим сумму чисел полученного числа:
1268 1438 1518
Складываем цифры каждого числа:
1+2+6 = 9
1+4+3=8
1+5+1=7
Выбираем наименьшее число (сумма цифр одного числа)
Ответ: 7
Задания на комбинаторику и системы счисления.
Экономист по первому образованию и учитель информатики по второму. Преподаю в школе информатику, программирование, сайтостроение, экономику.